Przełomowe badania polskich matematyków o symetriach wszystkich symetrii

2021-04-05 3:33:34

Przełomowe badania polskich matematyków o symetriach wszystkich symetrii Polskim matematykom udało się rozwiązać nierozwiązany od kilku dekad problem z zakresu geometrycznej teorii grup. W pracy wspomógł ich komputer. Jego zadaniem było szukanie macierzy o określonych parametrach. Na rysunku – znaleziona przez komputer macierz 4641×4641, przedstawiona w formie graficznej – zielone punkty to 0, a kolor i jego natężenie odpowiada wartości absolutnej danego współczynnika macierzy. Źródło: M. Kaluba, D. Kielak, P. Nowak, Annals of Mathematic Polskim matematykom udało się rozwiązać nierozwiązany od kilku dekad problem z zakresu geometrycznej teorii grup. W pracy wspomógł ich komputer. Jego zadaniem było szukanie macierzy o określonych parametrach. Na rysunku – znaleziona przez komputer macierz 4641×4641, przedstawiona w formie graficznej – zielone punkty to 0, a kolor i jego natężenie odpowiada wartości absolutnej danego współczynnika macierzy. Źródło: M. Kaluba, D. Kielak, P. Nowak, Annals of Mathematic

Polskim matematykom udało się rozwiązać ważny problem dotyczący symetrii wszystkich symetrii. Był to nierozwiązany od kilku dekad problem – jedno z największych wyzwań geometrycznej teorii grup.

Wyniki pracy dr. Marka Kaluby (Uniwersytet im. Adama Mickiewicza i Karlsruher Institut fur Technologie), prof. Dawida Kielaka (Uniwersytet Oksfordzki) i prof. Piotra Nowaka (Instytut Matematyczny PAN) ukazały się w jednym z najbardziej prestiżowych pism matematycznych Annals of Mathematics. A w historii tego czasopisma jest tylko kilka prac polskich matematyków.

Prof. Piotr Nowak to jeden z nielicznych w Polsce laureatów ważnego europejskiego grantu ERC. „Kiedy składałem wniosek o grant nie odważyłbym się zaproponować rozwiązania problemu, który właśnie rozwiązaliśmy. Wydawało mi się, że na horyzoncie nikt nie widział wtedy takiej możliwości” – mówi.

Z podobną skromnością do tematu podchodzili dr Kaluba i prof. Kielak, którzy w swoich grantach też zakładali zdobycie innych, nieco mniejszych szczytów. Skoro jednak na swojej drodze naukowcy dostrzegli trasę na szczyt o wiele bardziej interesujący – Mount Everest geometrycznej teorii grup – nie zamierzali go ominąć.

O CO CHODZI W BADANIACH

„Rozwiązaliśmy pewien od dawna otwarty problem, pokazując, że pewna nieskończona rodzina obiektów algebraicznych – grup – ma własność T, a więc, że jest bardzo niekompatybilna z geometrią Euklidesa” – podsumowuje Nowak.

A dr Marek Kaluba dodaje: „Dzięki naszym badaniom zrozumieliśmy pewne geometryczne aspekty grup kodujących symetrie wszystkich symetrii”.

Obiekty z własnością T, których dotyczyły badania, mają bardzo egzotyczne właściwości geometryczne (nie daje się ich zrealizować jako symetrii w geometrii euklidesowej). Wydaje się to oderwane od rzeczywistości? Na pozór tak. Ale wiedza o tej skomplikowanej własności T znalazła już zastosowanie. Pozwala choćby konstruować ekspandery – grafy z dużą ilością połączeń wykorzystywane m.in. w algorytmach streamingujących. A takie algorytmy odpowiadają m.in. za wskazywanie trendów na Twitterze.

„Pytanie czy grupy, które badaliśmy, mają taką własność T, pojawiło się w druku w latach 90. Kiedy byłem doktorantem, to był to problem, o którym słyszałem na co drugim wykładzie i konferencji z teorii grup” – streszcza Piotr Nowak.

A Dawid Kielak dodaje: „Nasz wynik wyjaśnia działanie pewnego algorytmu. To algorytm Product Replacement używany, kiedy chce się losować elementy spośród ogromnych zbiorów np. liczących więcej elementów niż liczba cząsteczek we Wszechświecie. Ten algorytm istnieje od lat 90. i działa dużo lepiej, niż można się było spodziewać. Nasz artykuł tłumaczy, dlaczego on tak dobrze działa” – mówi prof. Kielak.

I dodaje: „informatyka to nowa fizyka. To, co nas otacza, to nie tylko cząsteczki, ale coraz częściej – również algorytmy. Naszym zadaniem jako matematyków będzie więc i to, by zrozumieć algorytmy, pokazywać, dlaczego one działają albo nie; dlaczego są szybkie lub wolne”.

KOMPUTER POMAGA SZUKAĆ DOWODU

Naukowcy w swoim matematycznym dowodzie wspomogli się obliczeniami komputerowymi. Używanie komputerów do dowodzenia twierdzeń w matematyce nie uchodziło dotąd raczej za eleganckie. Społeczność matematyków teoretycznych zwykle kręciła nosem na komputery. Tu jednak tu takie nowoczesne podejście spisało się wyjątkowo dobrze.

„Komputer wykonał tylko żmudną robotę. Ale nie zastąpił logiki. Naszym pomysłem było bowiem to, żeby zastosować redukcję nieskończonego problemu do problemu skończonego” – mówi prof. Kielak.

A dr Marek Kaluba dodaje: „zredukowaliśmy nasz problem do problemu optymalizacyjnego, a następnie użyliśmy do tej optymalizacji standardowych narzędzi – algorytmów, których inżynierowie używają do projektowania elementów konstrukcyjnych”.

Komputer dostał więc zadanie, by znaleźć tzw. macierz spełniającą określone kryteria. Maszyna tworzyła więc rozwiązanie, sprawdzała, jak dobrze ona spełnia ono zadane warunki i stopniowo poprawiała tę macierz, żeby dojść do jak najmniejszego poziomu błędu. Pytanie brzmiało tylko, jak niewielką skalę błędu jest w stanie uzyskać.

Komputer więc optymalizował, a matematycy, nieprzyzwyczajeni do tego, że maszyna wykonuje za nich pracę, co kilka minut chcieli wiedzieć, jaki jest poziom błędu. W pewnym momencie dr Kaluba, żeby koledzy nie zwracali mu ciągle głowy pytaniami, założył nawet konto na Twitterze, które na bieżąco pokazywało im, co wyliczył komputer. „Szkoda, że nasze tweety nie znalazły się w trendach na Twitterze” – mruga okiem prof. Nowak.

Nerwy się opłaciły. Okazało się, że błąd komputera w ostatnim przybliżeniu był bardzo, bardzo niewielki. Obliczenie komputera pozwalało więc – przy użyciu odpowiednich matematycznych argumentów – uzyskać ścisły dowód.

Macierz, którą „wypluł” komputer, miała 4,5 tysiąca kolumn i 4,5 tysięcy wierszy. – „Równie dobrze mogliśmy tej macierzy szukać ręcznie albo mogłaby się nam ona przyśnić, ale to musiałby być długi sen, co najmniej zimowy” – żartuje Dawid Kielak. I dodaje, że skoro komputerów używa się do robienia zakupów, to dlaczego miałyby nie pomagać i matematykom.

Marek Kaluba tłumaczy zaś, że problem, nad którym pracowali, był początkowo zbyt duży, żeby go rozwiązać dysponując nawet superkomputerem. „Wobec tego użyliśmy wewnętrznych symetrii tego problemu, aby ułatwić poszukiwania rozwiązania” – mówi. I tłumaczy, że analogiczne podejście będzie można stosować i w rozwiązywaniu innych problemów z zakresu optymalizacji obiektów, które cechują się geometrycznymi symetriami. „Te symetrie (w algebraicznej formie) będzie można zaobserwować również w problemie optymalizacyjnym i użyć ich do redukcji złożoności” – mówi dr Kaluba. I dodaje: „Chociaż więc zajmujemy się abstrakcyjną matematyką, to chcemy, by nasze oprogramowanie było przydatne również w inżynierskich zastosowaniach”.

Badania polskich matematyków w Annals of Mathematics. Oszacowania błędów przy kolejnych przybliżeniach rozwiązania (wykres górny) i wartość pewnego parametru, który był optymalizowany (tzw. luki spektralnej) Źródło: M. Kaluba, D. Kielak, P. Nowak, Annals of Mathematic

PAP – Nauka w Polsce, Ludwika Tomala

Komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *